[확률과 통계] 3장. 확률과 확률변수 2

1. 이산형 확률변수의 종류

베르누이 분포

- 확률변수 X의 확률질량함수가 다음과 같을 때,

 

- 확률변수 X는 성공확률이 p인 베르누이 분포를 따른다.

-> X~Bernoulli(p)

 

이항실험

- 다음의 조건을 만족하는 확률실험을 이항실험이라 한다.

1. 유한번의 시행으로 구성

2. 각각의 시행은 베르누이 시행

3. 각각의 시행은 서로 독립

ex) 동전 하나를 연속해서 세 번 던지는 확률실험, 어떤 공정에 의하여 생산된 제품 5개를 무작위로 뽑는 행위

 

이항분포

- 확률질량함수가 다음과 같을 때, 확률변수 X는 시행횟수 n번, 성공확률이 p인 이항분포를 따른다.

 

- X ~ B(n,p)

- n = 1인 경우, X ~ B(1,p)은 X ~ Bernoulli(p)를 의미한다.

 

이항분포의 평균과 분산

- X ~ B(n,p)일 때,

E(X) = np, Var(X) = np(1-p)

- X ~ Bernoulli(p)

E(X) = p, Var(X) = p(1-p)

 

초기하분포

- 모집단이 여러 가지 특성으로 분해되는 경우 사용된다.

- 모집단이 서로 다른 두가지 특성에 의해 분해된다고 하자.

 

- 동그라미의 집단 크기가 r이면 네모 집단의 크기는 N-r이다.

- 이 모집단에서 크기가 n인 표본을 추출한다.

- 크기가 n인 표본에서 동그라미의 개수에 대한 확률분포이다.

 

포아송 분포

- 자연 지수함수 e^x의 매클로린 급수

 

- X의 확률질량함수가 아래와 같을 때, X는 모수가 μ인 포아송 분포를 따른다. -> X ~ Poisson(μ)

 

포아송 분포의 평균과 분산

- 평균 : E(X) = μ

- 분산 : Var(X) = μ

- 평균, 분산이 같은 모수 μ를 갖는 분포로는 유일하다.

 

포아송 분포 모형에서 확률변수의 사례

- 확률변수 : 단위시간 당 특정 사건의 발생 건수

ex) 5분 동안 걸려온 전화 수, 하루동안 서비스 센터에 접수된 민원 건 수

 

이항분포의 포아송 근사

- 모수가 2개인 이항분포를 모수가 하나인 포아송 분포로 단순화한다.

- 이항분포의 포아송 근사
  - 조건 : n>=20, p<=0.01 / n>=100, p=0.1

  - X~B(n,p), n이 충분히 크고, p가 충분히 작으며, np ≈ μ 일 때, 근사적으로 X~Poisson(μ)로 간주할 수 있다.