[확률과 통계] 4장. 모집단과 표본

01 모집단과 표본

모집단 (population)

- 연구나 조사의 관심 대상 전체의 모임이다.

- 때로는 관심대상 전체 측정값들의 집합을 모집단으로 간주한다.

 

표본 (sample)

- 모집단의 부분집합

- 모집단을 잘 설명하기 위해서는 대표성을 갖춰야 한다.

 

전수조사

- 모집단 전체를 조사하는 것이다.

 

표본조사

- 추출된 표본에 의하여 조사하는 것이다.

- 모집단의 특성을 추정을 할 때 사용한다.

- 표본추출에서 선택편향이 발생하면 알맞은 조사방법이라고 볼 수 없다.

 

통계량

- 모수의 추정을 위해 사용되는 표본들의 함수이다. (추정량)

통계치

- 통계량의 값이다. (추정치)

모집단의 분포 ex) 베르누이 분포 X ~ Bernoulli(p)

                            이항분포 X ~ B(n,p)

                            포아송 분포 X ~ Poisson(λ)

                            정규분포 X ~ N(μ,σ^2)

 

02 표본추출 (sampling)

반복 가능 여부에 따른 표본 추출 방법

- 복원추출 (sampling with replacement)

- 비복원추출 (sampling with replacement)

 

단순확률추출법 (simple random sampling)

- 무작위적(random), 독립적(independent) 추출

- 모집단의 특성을 잘 대표하는 표본 -> 확률표본이라 한다.

- 표본의 분포가 모집단의 분포와 동일하다는 주장이 있어야 한다.

ex) X1, X2, ... , Xn은 정규분포 N(μ, σ^2)를 따르는 모집단에 추출된 확률 표본 <-> X1,X2,...,Xn ~ i.i.d N(μ, σ^2)

 

표본평균과 표본분산

- 표본 X1, X2, ... , Xn 에 대하여

표본평균의 기댓값과 분산

 

03 중심극한 정리

정규분포를 따르는 모집단으로부터 추출된 표본평균의 분포 (표준화)

- X1,X2,..,Xn이 정규분포 N(μ, σ^2)를 따르는 모집단에 추출된 크기가 n인 확률표본일 때, 표본평균은 정규분포 N(μ, σ^2/n)를 따른다.

 

04 표본비율의 분포

모비율과 표본비율

- 모비율 p는 모집단에서 관심의 대상이 되는 특정한 성질을 갖는 개체들의 비율이다. ex) 성공률, 찬성률, 지지율

- 모비율 p의 추정량 p는 X = X1 + X2 + ... + Xn일 때 다음과 같다.

 

표본비율의 분포

 

05 오차의 개념

오차(error)의 유형

- 오차 = 참값 - 근사값

- 오차의 종류 : 1. 절대오차 = |참값-근사값|

                       2. 상대오차 = (참값-근사값)/참값

                       3. 상대절대오차 = |(참값-근사값)/참값| 

 

오차에 의한 모수의 추정

- 참값의 추정값을 구하기 위해 사용된 근사값들이 x1,x2,...,xn일 때,

추정원리 1 : 절대 오차의 합을 최소화하는 값을 추정값으로 선택한다.

 

추정원리 2 : 오차의 제곱의 합을 최소화하는 값을 추정값으로 선택한다.

 

표본오차의 발생 원인

- 모집단 설정 이유, 선택 오류, 표집틀 오류, 무응답 오류

 

비표본오차

- 표본조사시 발생하는 오차 중 표본오차가 아닌 오차이다.

- 데이터의 정확도나 처리과정에서 발생한다.

- 표본편의에 의하여 발생하기 때문에 표본의 크기를 크게 해도 줄어들지 않는다.